幾何之美

第1章π—一首無窮無盡的歌  
一、π是什么？2
二、人類對π的探究3
三、布豐試驗(yàn)8
四、π的性質(zhì)9
五、含有π的數(shù)學(xué)公式10
六、π的趣聞11
綜合與實(shí)踐15
第2章尺規(guī)作圖——跨越兩千年的探索  
一、幾何作圖三大問題17
二、跳出“尺規(guī)”框框19
三、尺規(guī)作正多邊形21
四、尺規(guī)作圖的意義25
五、尺規(guī)作圖的繼承與創(chuàng)新25
綜合與實(shí)踐28
第3章柏拉圖多面體  
一、柏拉圖多面體30
二、和諧互容，天作之美31
三、阿基米德體與卡塔朗體35
四、星形和星體38
五、柏拉圖體與藝術(shù)創(chuàng)作41
綜合與實(shí)踐42
第4章幾何錯視與數(shù)學(xué)藝術(shù)  
一、直覺不可靠44
二、圖形悖論48
三、數(shù)學(xué)藝術(shù)——藝術(shù)創(chuàng)作新領(lǐng)地49
綜合與實(shí)踐53
第5章圖形變換——變出精彩  
一、杜德尼分割55
二、平移56
三、旋轉(zhuǎn)57
四、對稱與翻折59
五、圖形的分割與拼合62
六、級數(shù)求和的無字證明63
七、以直“繡”曲65
綜合與實(shí)踐69
第6章七巧板——風(fēng)靡全球的東方魔板  
一、七巧板風(fēng)靡全球72
二、七巧板的演變過程73
三、七巧板制作及基本要素分析75
四、七巧板拼圖游戲規(guī)則77
五、由七巧板提出的數(shù)學(xué)問題78
六、七巧板的各種變式及應(yīng)用82
綜合與實(shí)踐83
第7章坐標(biāo)幾何——揭開幾何新篇章  
一、解析幾何的誕生86
二、坐標(biāo)法的日臻完善88
三、數(shù)形結(jié)合解析法90
綜合與實(shí)踐92
第8章勾股定理——悠悠四千年的故事  
一、神秘的泥版95
二、勾股定理——神賜予的光明96
三、五花八門的證明97
四、《九章算術(shù)·勾股》在絲綢之路沿途留下的印跡101
五、會下“金蛋”的鵝102
六、勾股定理萬花筒103
綜合與實(shí)踐106
第9章迷人的鑲嵌  
一、正多邊形鑲嵌109
二、一般凸多邊形（非正多邊形）鑲嵌112
三、其他花樣平面鑲嵌117
四、平面鑲嵌設(shè)計(jì)117
五、彭羅斯鑲嵌及非周期性鑲嵌123
六、埃舍爾鑲嵌與藝術(shù)鑲嵌設(shè)計(jì)126
七、鑲嵌藝術(shù)作品欣賞127
綜合與實(shí)踐128
第10章向量幾何——架起幾何—代數(shù)新橋梁  
一、向量發(fā)展簡史130
二、向量進(jìn)入中學(xué)130
三、向量魅力何在？132
四、中學(xué)向量知識結(jié)構(gòu)133
五、向量方法解題134
綜合與實(shí)踐138
第11章阿波羅尼奧斯定理  
一、阿波羅尼奧斯定理140
二、阿波羅尼奧斯定理的推廣141
綜合與實(shí)踐146
第12章海倫-秦九韶公式  
一、海倫-秦九韶公式148
二、三角形面積公式大觀園150
三、海倫-秦九韶公式的推廣152
四、海倫三角形155
綜合與實(shí)踐157
第13章三角形五心——心心相印  
一、三角形的五心159
二、三角形的其他巧合點(diǎn)和線160
三、與五心相關(guān)的性質(zhì)166
綜合與實(shí)踐175
第14章斯坦納-雷米歐司定理  
一、吳文俊也研究過這道名題177
二、定理的證明與推廣177
三、兩道以斯坦納-雷米歐司定理為背景的賽題181
四、吳文俊的研究182
綜合與實(shí)踐184
第15章完美正方形  
一、問題溯源186
二、數(shù)學(xué)家的探索187
三、完美正方形的構(gòu)造191
四、問題拓展192
綜合與實(shí)踐194
第16章美的密碼——黃金分割  
一、黃金比、黃金數(shù)196
二、美的密碼——形影不離的黃金比200
三、多彩世界處處見“黃金”204
綜合與實(shí)踐210
第17章梅涅勞斯定理和塞瓦定理  
一、共點(diǎn)線與共線點(diǎn)——體會和諧對稱之美213
二、定理的應(yīng)用——體會對稱簡潔之美214
三、定理的推廣218
綜合與實(shí)踐224
第18章最美是圓  
一、圓的位置關(guān)系226
二、與圓有關(guān)的角228
三、圓與正多邊形229
四、圓冪定理231
五、涉圓趣題233
六、借助圓解釋基本不等式235
七、涉圓名題235
八、滾動的圓242
綜合與實(shí)踐244
第19章翩翩起舞的蝴蝶定理  
一、梯形中的蝴蝶定理247
二、角上的蝴蝶定理248
三、箏形上的蝴蝶定理248
四、一般四邊形上的蝴蝶定理249
五、圓上的蝴蝶定理252
六、圓錐曲線上的蝴蝶定理255
綜合與實(shí)踐258
第20章天鵝之歌——帕普斯定理與帕斯卡定理  
一、帕普斯定理260
二、16歲天才少年發(fā)現(xiàn)的定理260
三、證明與推廣262
四、帕斯卡三角形265
綜合與實(shí)踐265
第21章維恩圖  
一、集合之間的關(guān)系267
二、集合的運(yùn)算與運(yùn)算律268
三、容斥原理269
四、四個集合的維恩圖270
五、豐富多彩的維恩圖272
六、維恩圖的應(yīng)用273
綜合與實(shí)踐275
第22章不等式的幾何表示  
一、基本不等式277
二、柯西不等式278
三、閔可夫斯基不等式279
四、糖水不等式280
五、排序不等式和切比雪夫不等式281
六、均值不等式283
七、對數(shù)不等式284
八、約當(dāng)不等式285
九、阿里斯塔克不等式285
十、舒爾不等式286
綜合與實(shí)踐287
第23章三角形中的Soddy圓  
一、三角形的Soddy點(diǎn)和Soddy圓290
二、Soddy點(diǎn)和Soddy圓的作圖方法293
三、Soddy點(diǎn)的奇妙性質(zhì)294
四、三維空間中的Soddy球296
綜合與實(shí)踐298
第24章從英國海岸線談起  
一、大自然的幾何圖形300
二、英國的海岸線有多長？302
三、歐氏幾何和分形幾何的不同點(diǎn)304
四、生成分形的方法304
五、混沌理論中的吸引子309
六、分形的維數(shù)311
七、電影的分形藝術(shù)314
綜合與實(shí)踐316
第25章四邊形的婆羅摩笈多公式  
一、四條線段何時(shí)能夠構(gòu)成四邊形？318
二、四條邊長確定的四邊形何時(shí)面積最大？319
三、布雷特施奈德公式322
綜合與實(shí)踐324
第26章凸四邊形的外接橢圓  
一、圓錐曲線的定義326
二、四邊形外接橢圓的覆蓋區(qū)域327
三、凸四邊形外接橢圓的中心的軌跡329
四、橢圓內(nèi)接（外切）特殊四邊形的性質(zhì)331
綜合與實(shí)踐333
第27章全等分割與希爾伯特第三問題  
一、全等分割和全等拼補(bǔ)335
二、希爾伯特第三問題338
三、巴拿赫-塔斯基分球怪論342
綜合與實(shí)踐345
第28章堆球問題與開普勒猜想  
一、開普勒猜想的由來347
二、格堆積問題348
三、牛頓問題和親吻數(shù)350
四、伏龍諾伊圖和狄隆涅三角化355
綜合與實(shí)踐362