高等數(shù)學(xué)（第三版）

1 函數(shù) …………………………………… 1
1.1 集合 ……………………………… 1
1.1.1 集合的概念 ………………… 1
1.1.2 集合的運(yùn)算 ………………… 1
1.1.3 區(qū)間和鄰域 ………………… 2
習(xí)題1.1……………………………… 3
1.2 函數(shù) ……………………………… 3
1.2.1 函數(shù)的概念 ………………… 3
1.2.2 反函數(shù) ……………………… 4
習(xí)題1.2……………………………… 5
1.3 函數(shù)的基本性質(zhì) ………………… 6
1.3.1 函數(shù)的奇偶性 ……………… 6
1.3.2 函數(shù)的周期性 ……………… 6
1.3.3 函數(shù)的單調(diào)性 ……………… 7
1.3.4 函數(shù)的有界性 ……………… 7
習(xí)題1.3……………………………… 8
1.4 初等函數(shù) ………………………… 8
1.4.1 基本初等函數(shù) ……………… 8
1.4.2 復(fù)合函數(shù)…………………… 12
1.4.3 初等函數(shù)…………………… 13
習(xí)題1.4 …………………………… 13
1.5 函數(shù)關(guān)系的建立 雙曲函數(shù)…… 14
1.5.1 函數(shù)關(guān)系的建立…………… 14
1.5.2 雙曲函數(shù)…………………… 15
習(xí)題1.5 …………………………… 16
總習(xí)題一 ……………………………… 16
2 極限與連續(xù)…………………………… 18
2.1 數(shù)列的極限……………………… 18
2.1.1 數(shù)列的概念與性質(zhì)………… 18
2.1.2 數(shù)列的極限………………… 19
2.1.3 數(shù)列極限的性質(zhì)…………… 21
習(xí)題2.1 …………………………… 22
2.2 函數(shù)的極限……………………… 22
2.2.1 函數(shù)極限的定義…………… 22
2.2.2 函數(shù)極限的性質(zhì)…………… 25
習(xí)題2.2 …………………………… 26
2.3 無窮小與無窮大………………… 26
2.3.1 無窮小……………………… 26
2.3.2 無窮大……………………… 28
習(xí)題2.3 …………………………… 29
2.4 極限的運(yùn)算法則………………… 30
2.4.1 極限的四則運(yùn)算法則……… 30
2.4.2 復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則……………………………… 32
習(xí)題2.4 …………………………… 32
2.5 極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限…………………………………… 33
2.5.1 夾逼準(zhǔn)則…………………… 33
2.5.2 重要極限lim x→0sinxx =1 …… 34
2.5.3 單調(diào)有界準(zhǔn)則……………… 35
2.5.4 重要極限lim x→∞ 1+1x x=e……………………………… 36
2.5.5 連續(xù)復(fù)利…………………… 38
習(xí)題2.5 …………………………… 38
2.6 無窮小的比較…………………… 39
習(xí)題2.6 …………………………… 40
2.7 函數(shù)的連續(xù)性…………………… 40
2.7.1 函數(shù)的連續(xù)性……………… 40
2.7.2 函數(shù)的間斷點(diǎn)……………… 42
2.7.3 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性……………… 44
習(xí)題2.7 …………………………… 46
高等數(shù)學(xué)(第三版)
2.8 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)……… 47
2.8.1 大值和小值定理與有界性定理…………………… 47
2.8.2 零點(diǎn)定理與介值定理……… 47
習(xí)題2.8 …………………………… 49
總習(xí)題二 ……………………………… 49
3 導(dǎo)數(shù)與微分…………………………… 52
3.1 導(dǎo)數(shù)的概念……………………… 52
3.1.1 兩個(gè)引例…………………… 52
3.1.2 導(dǎo)數(shù)的定義………………… 53
3.1.3 函數(shù)的連續(xù)性與可導(dǎo)性的關(guān)系………………………… 57
3.1.4 導(dǎo)數(shù)的幾何意義…………… 57
習(xí)題3.1 …………………………… 58
3.2 函數(shù)的求導(dǎo)法則與求導(dǎo)公式…… 59
3.2.1 函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則……………………… 59
3.2.2 反函數(shù)的求導(dǎo)法則………… 61
3.2.3 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則……… 62
3.2.4 基本求導(dǎo)公式與導(dǎo)數(shù)法則……………………………… 63
習(xí)題3.2 …………………………… 65
3.3 高階導(dǎo)數(shù)………………………… 66
習(xí)題3.3 …………………………… 69
3.4 隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)……………………… 69
3.4.1 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)……………… 69
3.4.2 由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)……………………… 71
習(xí)題3.4 …………………………… 73
3.5 函數(shù)的微分……………………… 74
3.5.1 微分的定義………………… 74
3.5.2 微分的幾何意義…………… 76
3.5.3 基本初等函數(shù)的微分公式與微分的運(yùn)算法則………… 76
3.5.4 微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用
……………………………… 78
習(xí)題3.5 …………………………… 79
總習(xí)題三 ……………………………… 81
4 中值定理及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用………………… 83
4.1 中值定理………………………… 83
4.1.1 羅爾定理…………………… 83
4.1.2 拉格朗日中值定理………… 84
4.1.3 柯西中值定理……………… 87
習(xí)題4.1 …………………………… 88
4.2 洛必達(dá)法則……………………… 89
4.2.1 00和∞∞未定式的極限……… 89
4.2.2 其他未定式的極限………… 91
習(xí)題4.2 …………………………… 93
4.3 函數(shù)的單調(diào)性與極值…………… 93
4.3.1 函數(shù)單調(diào)性的判別法……… 93
4.3.2 函數(shù)的極值………………… 95
習(xí)題4.3 …………………………… 99
4.4 函數(shù)的大值與小值 ……… 100
習(xí)題4.4…………………………… 101
4.5 曲線的凹凸性及函數(shù)圖形的描繪 …………………………… 102
4.5.1 曲線的凹凸性及拐點(diǎn) …… 102
4.5.2 曲線的漸近線 …………… 105
4.5.3 函數(shù)圖形的描繪 ………… 106
習(xí)題4.5…………………………… 108
4.6 泰勒公式 ……………………… 109
習(xí)題4.6…………………………… 112
4.7 弧微分 曲率 ………………… 112
4.7.1 弧微分 …………………… 112
4.7.2 曲率 ……………………… 114
習(xí)題4.7…………………………… 117
總習(xí)題四……………………………… 117
5 不定積分 …………………………… 120
5.1 不定積分的概念和性質(zhì) ……… 120
5.1.1 原函數(shù)與不定積分的概念…………………………… 120
5.1.2 不定積分的幾何意義 …… 121
5.1.3 基本積分表 ……………… 121
5.1.4 不定積分的性質(zhì) ………… 122
習(xí)題5.1…………………………… 124
5.2 換元積分法 …………………… 124
5.2.1 換元積分法(湊微分法)………………………… 124
5.2.2 第二換元積分法 ………… 128
習(xí)題5.2…………………………… 132
5.3 分部積分法 …………………… 132
習(xí)題5.3…………………………… 135
5.4 有理函數(shù)的不定積分 ………… 136
5.4.1 有理函數(shù)與有理函數(shù)的不定積分 ………………… 136
5.4.2 三角函數(shù)有理式的不定
積分 ……………………… 138
習(xí)題5.4…………………………… 139
總習(xí)題五……………………………… 139
6 定積分 ……………………………… 141
6.1 定積分的概念與性質(zhì) ………… 141
6.1.1 定積分概念產(chǎn)生的背景 … 141
6.1.2 定積分的定義 …………… 142
6.1.3 定積分的幾何意義 ……… 144
6.1.4 定積分的性質(zhì) …………… 144
習(xí)題6.1…………………………… 147
6.2 微積分基本公式 ……………… 147
6.2.1 積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)…………………………… 147
6.2.2 微積分基本公式 ………… 149
習(xí)題6.2…………………………… 150
6.3 定積分的換元積分法與分部積分法 …………………… 151
6.3.1 定積分的換元積分法 …… 151
6.3.2 定積分的分部積分法 …… 154
習(xí)題6.3…………………………… 156
6.4 廣義積分與Γ函數(shù) …………… 156
6.4.1 無限區(qū)間的廣義積分 …… 156
6.4.2 無界函數(shù)的廣義積分 …… 158
6.4.3 Γ函數(shù) …………………… 159
習(xí)題6.4…………………………… 160
6.5 定積分的應(yīng)用 ………………… 161
6.5.1 定積分的元素法 ………… 161
6.5.2 平面圖形的面積 ………… 162
6.5.3 平面曲線的弧長(zhǎng) ………… 165
6.5.4 旋轉(zhuǎn)體的體積與側(cè)面積 … 166
6.5.5 平行截面的面積為已知的立體的體積 ……………… 167
6.5.6 定積分在物理上的應(yīng)用 … 168
習(xí)題6.5…………………………… 170
總習(xí)題六……………………………… 171
7 多元函數(shù)微分學(xué) …………………… 174
7.1 空間解析幾何簡(jiǎn)介 …………… 174
7.1.1 空間直角坐標(biāo)系 ………… 174
7.1.2 空間兩點(diǎn)間的距離 ……… 175
7.1.3 n維空間 ………………… 175
7.1.4 空間曲面及其方程 ……… 176
習(xí)題7.1…………………………… 179
7.2 多元函數(shù)的基本概念 ………… 179
7.2.1 平面點(diǎn)集 ………………… 179
7.2.2 二元函數(shù)的概念 ………… 180
7.2.3 二元函數(shù)的極限與連續(xù) … 181
7.2.4 n元函數(shù)的概念 ………… 183
習(xí)題7.2…………………………… 183
7.3 偏導(dǎo)數(shù) ………………………… 184
7.3.1 偏導(dǎo)數(shù)的定義 …………… 184
7.3.2 偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義及函數(shù)連續(xù)性與可偏導(dǎo)性的關(guān)系…………………………… 185
7.3.3 高階偏導(dǎo)數(shù) ……………… 186
習(xí)題7.3…………………………… 187
7.4 全微分 ………………………… 187
7.4.1 全微分的定義 …………… 187
7.4.2 函數(shù)可微分的條件 ……… 188
7.4.3 全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用…………………………… 189
習(xí)題7.4…………………………… 190
7.5 復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)微分法 …… 190
7.5.1 復(fù)合函數(shù)的微分法 ……… 190
7.5.2 隱函數(shù)的微分法 ………… 193
習(xí)題7.5…………………………… 194
7.6 多元函數(shù)的極值問題 ………… 195
7.6.1 多元函數(shù)極值 …………… 195
7.6.2 條件極值與拉格朗日乘數(shù)法 ………………………… 198
習(xí)題7.6…………………………… 201
總習(xí)題七……………………………… 201
8 二重積分 …………………………… 204
8.1 二重積分的概念與性質(zhì) ……… 204
8.1.1 二重積分的概念 ………… 204
8.1.2 二重積分的性質(zhì) ………… 206
習(xí)題8.1…………………………… 207
8.2 二重積分的計(jì)算 ……………… 207
8.2.1 在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分 ……………………… 207
8.2.2 在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分 ………………………… 211
8.2.3 廣義二重積分 …………… 214
習(xí)題8.2…………………………… 215
總習(xí)題八……………………………… 216
9 無窮級(jí)數(shù) …………………………… 219
9.1 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì) …… 219
9.1.1 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 ……… 219
9.1.2 級(jí)數(shù)的基本性質(zhì) ………… 222
習(xí)題9.1…………………………… 225
9.2 正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法 …………… 225
習(xí)題9.2…………………………… 231
9.3 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法 ……… 231
9.3.1 交錯(cuò)級(jí)數(shù)的收斂性 ……… 231
9.3.2 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與條件收斂 ………………… 233
習(xí)題9.3…………………………… 234
9.4 冪級(jí)數(shù) ………………………… 235
9.4.1 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一般概念 … 235
9.4.2 冪級(jí)數(shù)及其收斂性 ……… 236
9.4.3 冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì) ……… 240
習(xí)題9.4…………………………… 242
9.5 函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù) …………… 243
9.5.1 泰勒級(jí)數(shù) ………………… 243
9.5.2 函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)的方法…………………………… 245
習(xí)題9.5…………………………… 250
9.6 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式的應(yīng)用………………………………… 250
9.6.1 函數(shù)值的近似計(jì)算 ……… 250
9.6.2 歐拉公式 ………………… 252
習(xí)題9.6…………………………… 253
總習(xí)題九……………………………… 253
10 常微分方程………………………… 256
10.1 常微分方程的基本概念……… 256
習(xí)題10.1 ………………………… 258
10.2 一階微分方程………………… 258
10.2.1 可分離變量的微分方程…………………………… 259
10.2.2 齊次方程………………… 260
10.2.3 一階線性微分方程……… 262
10.2.4 伯努利方程……………… 264
習(xí)題10.2 ………………………… 265
10.3 可降階的二階微分方程……… 266
10.3.1 y″=f(x)型的微分方程…………………………… 266
10.3.2 y″=f(x,y')型的微分方程……………………… 266
10.3.3 y″=f(y,y')型的微分方程……………………… 267
習(xí)題10.3 ………………………… 268
10.4 二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)………………………………… 268
習(xí)題10.4 ………………………… 271
10.5 二階常系數(shù)線性微分方程………………………………… 271
10.5.1 二階常系數(shù)齊次線性微分方程及其解法…………… 271
10.5.2 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程及其解法………… 274
習(xí)題10.5 ………………………… 279
10.6 微分方程的應(yīng)用舉例………… 279
習(xí)題10.6 ………………………… 283
總習(xí)題十……………………………… 283
參考文獻(xiàn)………………………………… 286