數(shù)學方法論概論

第一章 數(shù)學方法論概述\t
第一節(jié) 數(shù)學方法論的含義\t
一、方法、方法論及數(shù)學方法論\t
二、數(shù)學方法論的研究對象\t
第二節(jié) 數(shù)學方法論的形成與發(fā)展\t
一、數(shù)學萌芽時期與數(shù)學方法的產(chǎn)生\t
二、常量數(shù)學時期與數(shù)學方法論的萌芽\t
三、變量數(shù)學時期與數(shù)學方法論的形成\t
四、近現(xiàn)代數(shù)學時期與數(shù)學方法論學科的建立及發(fā)展\t
第三節(jié) 數(shù)學方法論的基本特點、意義及基本研究方法\t
一、數(shù)學方法論的基本特點\t
二、研究和學習數(shù)學方法論的意義\t
三、數(shù)學方法論的基本研究方法\t
參考文獻\t
第二章 數(shù)學觀\t
第一節(jié) 數(shù)學的本質(zhì)\t
一、數(shù)學的基本特點\t
二、數(shù)學的客觀基礎(chǔ)\t
三、數(shù)學的研究對象\t
四、數(shù)學理論的真理性\t
第二節(jié) 數(shù)學悖論、危機與數(shù)學無限觀\t
一、數(shù)學悖論\t
二、數(shù)學危機\t
三、悖論的實質(zhì)與無限觀\t
第三節(jié) 數(shù)學基礎(chǔ)諸流派及哲學觀\t
一、邏輯主義學派\t
二、直覺主義學派\t
三、形式主義學派\t
四、數(shù)學基礎(chǔ)論的現(xiàn)代哲學思潮\t
參考文獻\t
第三章 數(shù)學化歸原則\t
第一節(jié) 化歸原則概說\t
一、化歸的特征\t
二、化歸的要素、模式和方向\t
三、化歸的實質(zhì)\t
第二節(jié) 化歸的基本形式\t
一、特殊與一般的轉(zhuǎn)化\t
二、整體與局部的轉(zhuǎn)化\t
三、具體與抽象的轉(zhuǎn)化\t
四、數(shù)與形的轉(zhuǎn)化\t
五、化高為低\t
六、化正為反\t
七、化已知為未知\t
八、化無限為有限\t
參考文獻\t
第四章 關(guān)系映射反演方法\t
第一節(jié) RMI方法概述\t
一、映射方法\t
二、相關(guān)概念\t
第二節(jié) RMI方法在數(shù)學中的應(yīng)用\t
一、反映若干具體數(shù)學方法的共性與本質(zhì)特征\t
二、作為探求數(shù)學問題解決的一種重要思路和方法\t
三、解決不可能性問題\t
四、解決理論的整體性結(jié)構(gòu)問題\t
五、RMI原理與數(shù)學創(chuàng)造\t
第三節(jié) 使用RMI方法的條件及RMI方法的推廣\t
一、使用RMI方法的條件\t
二、RMI方法的推廣\t
參考文獻\t
第五章 數(shù)學模型方法\t
第一節(jié) 數(shù)學模型的意義、類型及作用\t
一、數(shù)學模型的意義\t
二、數(shù)學模型的類型\t
三、數(shù)學模型的作用\t
第二節(jié) 建立數(shù)學模型的步驟與途徑\t
一、數(shù)學模型的建立步驟\t
二、數(shù)學模型的一般要求\t
三、建立數(shù)學模型的基本途徑\t
第三節(jié) 數(shù)學模型方法應(yīng)用舉例\t
第四節(jié) 數(shù)學模型方法的教學\t
一、數(shù)學建模方法的教學目的\t
二、數(shù)學模型方法的教學策略\t
三、數(shù)學模型方法的教學方式\t
參考文獻\t
第六章 數(shù)學構(gòu)造方法\t
第一節(jié) 構(gòu)造方法概述\t
一、構(gòu)造方法的特點\t
二、構(gòu)造方法的近現(xiàn)代發(fā)展\t
三、構(gòu)造性數(shù)學與非構(gòu)造性數(shù)學的辯證關(guān)系\t
第二節(jié) 構(gòu)造方法在數(shù)學發(fā)展中的作用\t
一、對中西古代數(shù)學的影響\t
二、對經(jīng)典數(shù)學的構(gòu)造性解釋\t
三、對開拓數(shù)學新領(lǐng)域的作用\t
第三節(jié) 構(gòu)造方法在數(shù)學解題中的運用\t
參考文獻\t
第七章 數(shù)學公理化方法\t
第一節(jié) 數(shù)學公理化方法的意義\t
第二節(jié) 數(shù)學公理化方法的產(chǎn)生與發(fā)展\t
一、公理化方法的萌芽階段——亞里士多德三段論體系\t
二、實質(zhì)公理化方法的產(chǎn)生階段——歐幾里得幾何公理體系\t
三、潛形式公理化階段——非歐幾何公理體系\t
四、形式公理化階段——希爾伯特公理體系\t
五、純形式公理化階段——元數(shù)學的建立\t
第三節(jié) 公理化方法的特點與基本問題\t
一、公理化方法的特點\t
二、公理化方法的基本問題\t
三、對公理系統(tǒng)的檢驗\t
第四節(jié) 公理化方法的應(yīng)用舉例\t
一、一個簡單的實例\t
二、幾何公理方法的重要實例——希爾伯特公理體系\t
三、現(xiàn)代形式公理系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)及具體實例\t
四、關(guān)于中學數(shù)學中的幾何公理體系及處理方法\t
第五節(jié) 對公理化方法的辯證認識\t
一、如何認識對同一對象的不同形式的公理描述\t
二、公理化方法是思維的“自由產(chǎn)物”還是建立在一定的客觀基礎(chǔ)上的事物\t
三、公理化方法是萬能的還是帶有某種局限的方法\t
四、關(guān)于實質(zhì)公理化與形式公理化\t
參考文獻\t
第八章 數(shù)學美學方法\t
第一節(jié) 數(shù)學美\t
一、數(shù)學美解析\t
二、數(shù)學發(fā)展中的數(shù)學美思想掠影\t
三、數(shù)學美的表現(xiàn)形式\t
第二節(jié) 數(shù)學美學方法的運用\t
一、數(shù)學美學方法的特點\t
二、數(shù)學美學方法運用的基本途徑\t
第三節(jié) 數(shù)學美育\t
一、審美教育的特征\t
二、審美教育的功能\t
三、數(shù)學審美教育的途徑\t
四、數(shù)學美育的層次\t
參考文獻\t
第九章 數(shù)學中的邏輯思維方法\t
第一節(jié) 數(shù)學中的推理及其方法\t
一、數(shù)學推理\t
二、推理分類\t
第二節(jié) 數(shù)學中的證明及其方法\t
一、數(shù)學證明的意義和結(jié)構(gòu)\t
二、數(shù)學證明方法\t
三、證明和推理的關(guān)系\t
參考文獻\t
第十章 數(shù)學中的非邏輯思維方式\t
第一節(jié) 想象與聯(lián)想\t
一、想象\t
二、聯(lián)想\t
第二節(jié) 直覺與靈感\(zhòng)t
一、直覺\t
二、靈感\(zhòng)t
參考文獻\t
第十一章 數(shù)學家的數(shù)學活動方法\t
第一節(jié) 笛卡兒——科學方法與數(shù)學理論的統(tǒng)一\t
一、笛卡兒的科學方法論\t
二、解析幾何的方法論價值\t
三、笛卡兒模式及數(shù)學解題\t
第二節(jié) 歐拉——數(shù)學多產(chǎn)得力于其數(shù)學思想方法\t
一、歐拉的主要貢獻及思想方法\t
二、合情推理\t
三、抽象分析法與映射法\t
第三節(jié) 龐加萊——通過內(nèi)省來研究數(shù)