第 1章 度量空間 1
1．1 度量空間 2
1．2 度量空間的其他例子 7
1．3 開集、閉集和鄰域 13
1．4 收斂性、柯西序列和完備性 18
1．5 例子——完備性的證明 24
1．6 度量空間的完備化 30
第 2章 賦范空間和巴拿赫空間 35
2．1 向量空間 36
2．2 賦范空間和巴拿赫空間 42
2．3 賦范空間的其他性質 48
2．4 有限維賦范空間和子空間 51
2．5 緊性和有限維 55
2．6 線性算子 59
2．7 有界線性算子和連續(xù)線性算子 66
2．8 線性泛函 75
2．9 有限維空間中的線性算子和泛函 81
2．10 算子賦范空間和對偶空間 85
第3章 內積空間和希爾伯特空間 92
3．1 內積空間和希爾伯特空間 93
3．2 內積空間的其他性質 99
3．3 正交補與直和 103
3．4 規(guī)范正交集和規(guī)范正交序列 110
3．5 與規(guī)范正交序列和規(guī)范正交集有關的級數 117
3．6 完全規(guī)范正交集和完全規(guī)范正交序列 122
3．7 勒讓德、埃爾米特和拉蓋爾多項式 128
3．8 希爾伯特空間中泛函的表示 138
3．9 希爾伯特伴隨算子 143
3．10 自伴算子、酉算子和正規(guī)算子 147
第4章 賦范空間和巴拿赫空間的基本定理 153
4．1 佐恩引理 153
4．2 哈恩–巴拿赫定理 156
4．3 復向量空間和賦范空間的哈恩–巴拿赫定理 160
4．4 應用到 C[a， b] 上的有界線性泛函 165
4．5 伴隨算子 170
4．6 自反空間 176
4．7 范疇定理和一致有界性定理 182
4．8 強收斂和弱收斂 189
4．9 算子序列和泛函序列的收斂 194
4．10 在序列可和性方面的應用 198
4．11 數值積分和弱星收斂 203
4．12 開映射定理 210
4．13 閉線性算子和閉圖定理 215
第5章 巴拿赫不動點定理的應用 220
5．1 巴拿赫不動點定理 220
5．2 巴拿赫定理在線性方程組方面的應用 226
5．3 巴拿赫定理在微分方程方面的應用 231
5．4 巴拿赫定理在積分方程方面的應用 235
第6章 在逼近論中的應用 241
6．1 賦范空間中的逼近 241
6．2 唯一性和嚴格凸性 243
6．3 一致逼近 248
6．4 切比雪夫多項式 254
6．5 希爾伯特空間中的逼近 260
6．6 樣條函數 263
第7章 賦范空間中線性算子的譜論 267
7．1 有限維賦范空間中的譜論 267
7．2 基本概念 271
7．3 有界線性算子的譜性質 275
7．4 預解式和譜的其他性質 278
7．5 復分析在譜論中的應用 283
7．6 巴拿赫代數 289
7．7 巴拿赫代數的其他性質 292
第8章 賦范空間中的緊線性算子及其譜論 297
8．1 賦范空間中的緊線性算子 297
8．2 緊線性算子的其他性質 302
8．3 賦范空間中緊線性算子的譜性質 307
8．4 緊線性算子的其他譜性質 313
8．5 含有緊線性算子的算子方程 319
8．6 其他的弗雷德霍姆型定理 324
8．7 弗雷德霍姆擇一性 331
第9章 有界自伴線性算子的譜論 337
9．1 有界自伴線性算子的譜性質 337
9．2 有界自伴線性算子的其他譜性質 341
9．3 正算子 344
9．4 正算子的平方根 349
9．5 投影算子 353
9．6 投影的其他性質 357
9．7 譜族 361
9．8 有界自伴線性算子的譜族 365
9．9 有界自伴線性算子的譜表示 371
9．10 譜定理到連續(xù)函數的推廣 377
9．11 有界自伴線性算子的譜族的性質 380
第 10章 希爾伯特空間中的無界線性算子 384
10．1 無界線性算子及其希爾伯特伴隨算子 385
10．2 希爾伯特伴隨算子、對稱和自伴線性算子 389
10．3 閉線性算子和閉包 393
10．4 自伴線性算子的譜性質 397
10．5 酉算子的譜表示 401
10．6 自伴線性算子的譜表示 408
10．7 乘法算子和微分算子 413
第 11章 量子力學中的無界線性算子 419
11．1 基本概念：狀態(tài)、觀察量和位置算子 420
11．2 動量算子和海森伯測不準原理 423
11．3 與時間無關的薛定諤方程 428
11．4 哈密頓算子 432
11．5 與時間相關的薛定諤方程 438
附錄A 復習與參考資料 446
附錄B 習題解答 457
附錄C 參考書目 538
人名索引 542
索 引 545
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