中算家的計(jì)數(shù)論

目錄
序（李文林） i
前言 iii
第1章 導(dǎo)論 1
1.1 中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)：概念、分期和特征 2
1.1.1 作為數(shù)學(xué)門類專名的歷史更迭 2
1.1.2 中算的歷史分期 5
1.1.3 傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的機(jī)械化特征：吳文俊先生的論述 7
1.2 離散問(wèn)題：早期的淵源和現(xiàn)代的復(fù)興 11
1.2.1 中英文“計(jì)數(shù)”的詞源及現(xiàn)代意義 11
1.2.2 組合計(jì)數(shù)的早期發(fā)展 14
1.2.3 離散數(shù)學(xué)與組合計(jì)數(shù)理論 19
1.3 中國(guó)數(shù)學(xué)史中的“計(jì)數(shù)”22
1.3.1 從語(yǔ)義學(xué)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)“計(jì)數(shù)” 22
1.3.2 從中算家的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)“計(jì)數(shù)” 23
1.3.3 從組合論的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)“計(jì)數(shù)” 23
1.3.4 從思想史的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)“計(jì)數(shù)” 24
1.3.5 中算計(jì)數(shù)論經(jīng)歷了五個(gè)歷史時(shí)期 25
前編
第2章 洛書與周易：古代計(jì)數(shù)思想的起源 29
2.1 龜背上的洛書：世界上*古老的三階幻方 30
2.1.1 有關(guān)河圖洛書的歷史記載 31
2.1.2 洛書即洪范九疇說(shuō)、洛書即九宮說(shuō) 33
2.1.3 河圖即天地生成數(shù)說(shuō)、河圖即圖讖說(shuō) 35
2.1.4 關(guān)于河洛起源討論的小結(jié) 36
2.2 周易卦序：排列與對(duì)稱的數(shù)學(xué) 39
2.2.1 《周易》簡(jiǎn)介 39
2.2.2 易卦的數(shù)學(xué)解析與邵雍先天圖 41
2.2.3 數(shù)學(xué)視角中易經(jīng)的幾個(gè)基本概念 42
2.2.4 二進(jìn)卦值菱圖的構(gòu)成和性質(zhì) 45
2.2.5 二進(jìn)卦值菱圖中周易卦序的對(duì)稱結(jié)構(gòu) 46
2.2.6 易卦卦序結(jié)構(gòu)的擴(kuò)展研究 48
2.2.7 結(jié)語(yǔ) 49
2.3 帛書周易卦序的數(shù)學(xué)建構(gòu) 50
2.3.1 伏羲卦序和太乙卦序的數(shù)學(xué)建構(gòu) 50
2.3.2 帛書周易方陣的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)分析 51
2.3.3 帛書周易六十四卦卦位及下、上卦值構(gòu)造表 53
2.3.4 結(jié)語(yǔ) 54
2.4 行道吉兇表的構(gòu)成 54
2.4.1 “行道吉兇”包括占卜表和吉兇判據(jù) 55
2.4.2 將“行道吉兇”表數(shù)字化 56
2.4.3 對(duì)“行道吉兇”表構(gòu)造的分析 57
2.4.4 吉兇統(tǒng)計(jì)的結(jié)果 58
2.5 對(duì)周易揲法與四柱預(yù)測(cè)的數(shù)學(xué)解析 59
2.5.1 周易揲法與分揲定理 59
2.5.2 宋代費(fèi)袞對(duì)“鴿籠原理”的應(yīng)用 63
第3章 律歷與博局：古代計(jì)數(shù)方法的應(yīng)用 66
3.1 戰(zhàn)國(guó)簡(jiǎn)天象玄戈篇：世界上*古老的四階拉丁方 67
3.1.1 解讀玄戈篇：構(gòu)成一個(gè)占星表 69
3.1.2 討論玄戈占星表結(jié)構(gòu)的五個(gè)問(wèn)題 71
3.1.3 玄戈占星表的標(biāo)準(zhǔn)形式：四階拉丁方 74
3.1.4 用“四象占星四階拉丁方”修正玄戈篇原簡(jiǎn)的缺陷 76
3.1.5 結(jié)語(yǔ) 77
3.2 干支紀(jì)日：世界上絕無(wú)僅有的循環(huán)紀(jì)日歷法 77
3.2.1 天干地支循環(huán)計(jì)數(shù)法的起源與干支序數(shù) 78
3.2.2 天干地支的排列、意義和性質(zhì) 80
3.2.3 干支的同余性質(zhì)在考釋歷簡(jiǎn)年代中的應(yīng)用 82
3.2.4 從干支的周期性到“年朔序”84
附記：關(guān)于“干支歷”與“干支紀(jì)日的歷法”的區(qū)別的說(shuō)明 86
3.3 黃鐘大呂：上古音樂(lè)中應(yīng)用的計(jì)數(shù)方法 86
3.3.1 公元前三分損益法的演進(jìn)：求十二律的三種途徑 87
3.3.2 十二律的精確算法和通項(xiàng)公式 90
3.3.3 放馬灘秦簡(jiǎn)律書與十二律大數(shù)計(jì)算公式 92
3.3.4 黃鐘大數(shù)與十二律大數(shù)：京房的沿襲 93
3.4 漢代的博局占戲：從干支計(jì)數(shù)到位置設(shè)計(jì) 95
3.4.1 西漢木牘記載的博局占圖 95
3.4.2 博局占圖的數(shù)學(xué)分析和該圖的來(lái)源考釋 97
3.4.3 標(biāo)準(zhǔn)博局占圖的復(fù)原 98
3.4.4 博局圖與漢代銅鏡中的“TLV”紋飾 100
3.4.5 博局游戲：來(lái)自《西京雜記》的證據(jù) 100
3.4.6 結(jié)語(yǔ) 102
3.5 中國(guó)的Nim——從古代的游戲到現(xiàn)代的數(shù)學(xué) 103
3.5.1 西方的Nim就是中國(guó)古代的“抓三堆”游戲 103
3.5.2 游戲Nim變成了現(xiàn)代數(shù)學(xué)名詞 104
3.5.3 拓展的研究：抓三堆Nim制勝方案，Nim三元系與斯坦納三元系 107
3.5.4 掌握了Nim的計(jì)算機(jī)向你挑戰(zhàn) 109
第4章 管墨荀諸子書與戰(zhàn)國(guó)秦竹簡(jiǎn)中的計(jì)數(shù) 110
4.1 《管子》《荀子》《韓非子》中的“計(jì)數(shù)” 111
4.1.1 管仲在《管子七法第六》中首次提出“計(jì)數(shù)”111
4.1.2 荀子、韓非子論“計(jì)數(shù)”114
4.2 相關(guān)的專題：《墨經(jīng)》中的算術(shù)和早期集合概念 116
4.2.1 墨子、墨家與《墨經(jīng)》簡(jiǎn)介 116
4.2.2《墨經(jīng)》中的算術(shù)和幾何知識(shí) 117
4.2.3 《墨經(jīng)》中的集合與區(qū)間概念 120
4.2.4 《墨經(jīng)》有關(guān)無(wú)窮和極限的概念 122
結(jié)語(yǔ) 124
4.3 清華大學(xué)藏戰(zhàn)國(guó)竹簡(jiǎn)《算表》125
4.3.1 《清華大學(xué)藏戰(zhàn)國(guó)竹簡(jiǎn)（肆）》算表的發(fā)現(xiàn) 125
4.3.2 清華戰(zhàn)國(guó)竹簡(jiǎn)算表的構(gòu)造、解讀和應(yīng)用 126
4.3.3 清華簡(jiǎn)算表在數(shù)學(xué)史上的意義 127
4.3.4 全面分析和正確解讀簡(jiǎn)牘數(shù)據(jù)表 128
4.4 北京大學(xué)藏秦簡(jiǎn)《陳起論數(shù)》計(jì)數(shù)內(nèi)容分析 129
4.4.1 北大秦簡(jiǎn)《陳起論數(shù)》的釋文解讀 129
4.4.2《陳起論數(shù)》現(xiàn)代漢語(yǔ)譯文 133
4.4.3 對(duì)北大秦簡(jiǎn)《陳起論數(shù)》的分析 134
上編
第5章 《九章算術(shù)》與劉徽注中的比例、數(shù)列和體積 141
5.1 《九章》與劉注中的“率”和數(shù)列問(wèn)題 142
5.1.1 劉徽是中國(guó)古代偉大的數(shù)學(xué)家 143
5.1.2 《九章算術(shù)》劉徽序 145
5.1.3 衰分章：用比例分配法解決等差、等比、調(diào)和數(shù)列6題 149
5.1.4 商功章：芻甍、芻童體屬于擬柱體 152
5.1.5 均輸章：以連比例率解復(fù)雜條件的數(shù)列4題 155
5.2 劉徽應(yīng)用比例研究體積關(guān)系獲得重要定理 159
5.2.1 張衡、劉徽探索球體積的算法 160
5.2.2 劉徽用比例表示的體積定理 163
5.2.3 劉徽在開(kāi)立圓術(shù)注中提出了“牟合方蓋” 164
5.3 拓展的研究：劉徽算法與劉徽猜想 165
5.3.1 劉徽算法的推廣：用積分表示 166
5.3.2 “以盒蓋為方率”求球體積的劉徽猜想 167
第6章 漢唐算經(jīng)中的算術(shù)和計(jì)數(shù)舉隅 172
6.1 《周髀算經(jīng)》：漢人視野中天地的算術(shù)模型 173
6.1.1 數(shù)學(xué)思想史上兩篇重要的對(duì)話 174
6.1.2 運(yùn)用比例、分?jǐn)?shù)和等差數(shù)列進(jìn)行天文計(jì)算 176
6.1.3 應(yīng)用測(cè)量和比例計(jì)算建立的宇宙模型 179
6.2 《孫子算經(jīng)》的計(jì)數(shù)內(nèi)容 182
6.2.1 數(shù)學(xué)思想史中的杰作：孫子對(duì)算術(shù)的評(píng)價(jià) 182
6.2.2 度量衡單位、籌算計(jì)數(shù)法和等差、等比數(shù)列 183
6.2.3 物不知數(shù)問(wèn)題與各色計(jì)數(shù)問(wèn)題 186
6.3 《張邱建算經(jīng)》中的整數(shù)論與計(jì)數(shù) 189
6.3.1 分?jǐn)?shù)乘除法和*大公約數(shù)、*小公倍數(shù) 190
6.3.2 等差、等比數(shù)列問(wèn)題 192
6.3.3 不定方程：百雞問(wèn)題 196
6.4 《數(shù)術(shù)記遺》中的珠算和計(jì)數(shù)工具 197
6.4.1 大數(shù)記法和循環(huán)計(jì)數(shù)理論 199
6.4.2 積算、太一算、兩儀算 200
6.4.3 三才算、五行算、運(yùn)籌算 202
6.4.4 珠算和計(jì)數(shù) 204
第7章 祖沖之和祖暅：精密計(jì)算的先驅(qū) 207
7.1 祖沖之生平與成就 208
7.1.1 中古的數(shù)學(xué)天才 208
7.1.2 人類早期數(shù)學(xué)文明的標(biāo)志：圓周率 209
7.1.3 祖沖之的科學(xué)貢獻(xiàn)永載史冊(cè) 213
7.2 祖沖之計(jì)算圓周率的方法探析 214
7.2.1 祖沖之求圓周率方法研究：應(yīng)用劉徽割圓術(shù) 215
7.2.2 華羅庚對(duì)割圓術(shù)求圓周率的現(xiàn)代表述 217
7.2.3 擴(kuò)展的研究：求圓周率其他可能的途徑 218
7.3 《大明歷》采用391年置144閏的新閏周 220
7.3.1 拓展的研究：應(yīng)用算術(shù)方法分析農(nóng)歷和《大明歷》 221
7.3.2 閏周的概念與相關(guān)連分?jǐn)?shù)和漸近分?jǐn)?shù) 223
7.3.3 “諧月”概念的提出 225
7.4 祖暅繼承劉徽從合蓋體積獲得球體積公式 228
7.4.1 祖暅原理的應(yīng)用和球體積公式導(dǎo)出 228
7.4.2 擴(kuò)展的討論：阿基米德球體積公式和卡瓦列里原理 230
7.4.3 劉徽與祖暅的歷史貢獻(xiàn)：一個(gè)引起討論的問(wèn)題 233
中編
第8章 沈括楊輝秦九韶：杰出的計(jì)數(shù)成果 239
8.1 沈括《夢(mèng)溪筆談》中計(jì)數(shù)成就探析 240
8.1.1 沈括是科學(xué)史上的偉人 241
8.1.2 沈括“隙積術(shù)”首開(kāi)中算級(jí)數(shù)論 243
8.1.3 《夢(mèng)溪筆談》棋局都數(shù) 245
8.1.4 “六十甲子納音” 247
8.2 楊輝：縱橫圖與垛積術(shù) 253
8.2.1 楊輝和他的數(shù)學(xué)著作 253
8.2.2 《續(xù)古摘奇算法》是數(shù)學(xué)史上的奇書 255
8.2.3 賈憲三角形 260
8.2.4 垛積術(shù)與數(shù)列問(wèn)題 263
8.3 秦九韶：“道”的思想與兩項(xiàng)算法的巔峰之作 267
8.3.1 秦九韶與《數(shù)書九章》 267
8.3.2 秦九韶的“道”的思想 269
8.3.3 秦九韶大衍總數(shù)術(shù)：仿周易揲法的數(shù)學(xué)杰作 273
8.3.4 拓展的研究：高次方程數(shù)值解的秦九韶程序 276
第9章 朱世杰《四元玉鑒》的垛積招差術(shù) 280
9.1 《四元玉鑒》垛積招差術(shù)（上） 280
9.1.1 朱世杰的垛積招差術(shù)是組合計(jì)數(shù)的開(kāi)山之作 281
9.1.2 《四元玉鑒》垛積招差術(shù)綜述 283
9.1.3 茭草形段7題 286
9.2 《四元玉鑒》垛積招差術(shù)（下） 288
9.2.1 箭積交參7題 288
9.2.2 如象招數(shù)5題 291
9.2.3 果垛疊藏20題 297
9.3 拓展的研究：朱世杰-范德蒙公式的由來(lái)和發(fā)展 300
9.3.1 尋找“朱世杰-范德蒙公式”300
9.3.2 錢寶琮先生闡發(fā)朱世杰垛積術(shù)成果的歷史貢獻(xiàn) 301
9.3.3 Vandermonde公式的組合意義 303
9.3.4 徐利治先生介紹朱-范公式的現(xiàn)代發(fā)展 304
第10章 王文素的計(jì)數(shù)成就與珠算的發(fā)展 306
10.1 《算學(xué)寶鑒》中的珠算與計(jì)數(shù)問(wèn)題 307
10.1.1 王文素和他的著作《算學(xué)寶鑒》 307
10.1.2 珠算乘法的簡(jiǎn)算法 310
10.1.3 數(shù)列、垛積和輪流均數(shù)問(wèn)題 313
10.2 《算學(xué)寶鑒》所載幻圖和“王文素問(wèn)題”317
10.2.1 王文素構(gòu)造的五種幻圖 317
10.2.2 王文素問(wèn)題之一——“三同六變” 320
10.2.3 拓展的研究：“王文素問(wèn)題”三類子問(wèn)題 322
10.2.4“王文素問(wèn)題”的歷史價(jià)值 326
10.3 相關(guān)的進(jìn)展：珠算申報(bào)世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)的過(guò)程 327
10.3.1 珠算在我國(guó)文化史、數(shù)學(xué)史中的重要地位 327
10.3.2 吳文俊先生關(guān)心珠算事業(yè)的發(fā)展